Новая философская энциклопедия - конструктивное направление

Характерное различие между этими двумя направлениями связано с предложениями о существовании. Конструктивисты и классики по-разному понимают самый термин «существование» в связи с объектами математики и логики. В классической математике и логике доказываются многочисленные чистые теоремы существования, состоящие в утверждениях о существовании объектов с такими-то свойствами при полном игнорировании способов построения таких объектов. Конструктивисты отвергают такого рода предложения. Конструктивное понимание параметрических предложений о существовании (содержащих параметры, могущие принимать разные значения) предполагает их трактовку как предложений о возможности существования алгоритмов, перерабатывающих любое допустимое значение параметров в объект, существование которого утверждается. Напр., конструктивный смысл теоремы Евклида: «для всякого натурального числа существует простое число у, большее х» (где играет роль параметра) усматривается в том, что имеется алгоритм, который дает возможность, исходя из произвольного натурального числа х, получить простое число у, большее — алгоритм, перерабатывающий любое натуральное число х в простое число у, большее х

Конструктивному пониманию существования соответствует конструктивное понимание дизъюнкций — предложений вида «Р или B». Такое предложение тогда считается установленным, когда хотя бы одно из предложений установлено как верное. Это понимание дизъюнкции не дает основания считать верным исключенного третьего закон.  Т. о., конструктивное направление требует своей конструктивной логики, в некоторых важных аспектах отличной от классической.

Оформление и развитие конструктивного направления имело место на основе осуществленного в 30-х гг. 20 в. уточнения понятия алгоритма. Слова в рассматриваемом алфавите, записи (программы) алгоритмов — все это потенциально осуществимые конструктивные объекты. Сам процесс применения алгоритма к данному слову рассматривается как потенциально осуществимый процесс. Для того, чтобы удостовериться в применимости алгоритма А к слову Р, не обязательно, чтобы процесс применения А к Р был выполнен перед нашими глазами от начала до конца. Здесь возможно применить рассуждение от противного: алгоритм А применим к слову Р, если предположение о неограниченной продолжаемости процесса применения А к Р опровергается приведением к нелепости. Данный способ рассуждения назвали принципом Маркова.

Использование точного понятия алгоритма дало возможность развивать конструктивную математику и конструктивную математическую логику как науки. Н. А. Шанин построил алгоритм конструктивной расшифровки, выделяющий из любой математической формулы явное построение конструктивного объекта и условие, которое необходимо доказать для корректности данного построения. Он заметил, что для обоснования уже сделанного построения можно, в предположении принципа Маркова, использовать классическую логику. Т. о., при конструктивном понимании формула содержит две задачи: задачу на построение и задачу на доказательство. Если первая из них практически с неизбежностью требует перехода к неклассической логике, то вторая зачастую может быть решена традиционными средствами. Это разделение двух типов задач явилось важным методологическим следствием, достичь которого помог принцип Маркова, поскольку без него такого простого алгоритма расшифровки и простой характеризации задач на доказательство достичь не удается.

Вместе с тем Б. А. Кушнер выяснил, что из чисто математических результатов от принципа Маркова зависит лишь теорема Г. С. Цейтина о непрерывности конструктивных функций действительного переменного. Но как раз она явилась самым важным результатом конструктивного анализа. Ее доказательство в корне отлично от соответствующей теоремы интуиционистского анализа, поскольку опирается не на ограниченность доступной конечной информации о бесконечных объектах, а на сложность полной информации об алгоритмах, которыми располагает конструктивная функция. Свойства конструктивных функций оказались резко отличными от классических.

Еще более жесткий вариант конструктивного подхода предложил Р. Л. Гудстейн. Он использовал лишь такие алгоритмы, которые по своему определению заведомо заканчивают работу, и лишь такие свойства их, которые выражаются в виде V x